Pernahkah Anda mengarungi lautan menggunakan perahu layar? Ketika perahu layar mencoba untuk bergerak lurus, tiba-tiba angin dan ombak lautan menghambat perjalanan sehingga Anda tidak dapat mencapai tujuan dengan tepat. Untuk dapat sampai di tempat tujuan, Anda harus mengubah arah pergerakan perahu layar Anda dan memperkirakan arah gerak angin dan ombak tersebut.
Begitu pun jika Anda berenang di sungai yang memiliki aliran yang kuat,Anda perlu berjuang melawan arus aliran sungai agar dapat mencapai tujuan yang Anda inginkan. Besarnya kecepatan arus aliran sungai dapat menentukan seberapa jauh penyimpangan Anda ketika berenang. Mengapa hal tersebut dapat terjadi? Semua yang Anda alami tersebut berhubungan dengan vektor. Untuk lebih memahami materi mengenai vektor, pelajarilah bahasan-bahasan berikut ini dengan saksama.
Ketika seseorang bertanya di mana letak sekolah Anda dari tempat Anda berada saat itu, apa jawaban Anda? Cukupkah dengan menjawab, “Sekolah saya berjarak 2 km dari sini?”. Tentu saja jawaban Anda belum lengkap. Tempat yang berjarak 2 km dari posisi Anda sangatlah banyak, bisa ke arah timur, barat, selatan, atas, dan bahkan ke bawah. Oleh karena itu wajar jika orang tadi melanjutkan pertanyaannya sebagai berikut “ke arah mana?”. Jawaban yang dapat menyatakan letak atau posisi sekolah Anda secara tepat adalah “Sekolah saya berjarak 2 km dari Jogja ke timur”. Pernyataan ini memperlihatkan bahwa untuk menunjukkan posisi suatu tempat secara tepat, memerlukan data jarak (nilai besaran) dan arah. Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut besaran vektor.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak peristiwa yang berkaitan dengan besaran vektor. Ketika Anda naik sebuah perahu di sungai Musi, Anda pasti menginginkan arahnya tegak lurus terhadap arus sungai. Arah gerak perahu tidak akan lurus tiba di seberang, melainkan bergeser searah gerak aliran air.
A. Definisi, Gambar, dan Notasi Vektor
Seperti telah disinggung sebelumnya, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum. Selain besaran vektor, ada juga besaran yang hanya memiliki nilai. Besaran seperti ini disebut besaran skalar. Besaran yang termasuk besaran skalar, di antaranya massa, waktu, kuat arus, usaha, energi, dan suhu.
Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya A atau AB . Akan tetapi, dalam buku ini, vektor digambarkan oleh sebuah huruf yang dicetak tebal dan miring, misalnya A atau B. Gambar 2.1 menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor.
Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya
dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar 2.2 memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.
B. Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis
Pernahkah Anda membayangkan jika Anda berenang di sungai searah dengan aliran sungai, kemudian Anda tiba-tiba berbalik arah 90° dari arah pergerakan semula? Apakah posisi terakhir Anda tepat sesuai keinginan
Anda? Tentu tidak, arah akhir posisi Anda tidak akan membentuk sudut 90° dari posisi semula karena terdapat hambatan arus sungai yang membuat arah gerak Anda tidak tepat atau menyimpang. Anda dapat menentukan posisi akhir Anda dengan cara menjumlahkan vektor gerak Anda, baik perpindahannya maupun kecepatannya. Apakah Anda mengetahui cara menjumlahkan dua buah vektor?
Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa vektor disebut vektor resultan. Berikut ini akan dibahas metode-metode untuk menentukan vektor resultan.
1. Resultan Dua Vektor Sejajar
Misalnya, Anda bepergian mengelilingi kota Palu dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, Anda bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah istirahat secukupnya, Anda kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, Anda telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan perpindahan Anda adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar 2.3.
Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, Anda kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan Anda menjadi 50 km – 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda diperlihatkan pada Gambar 2.4.
Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.3 dan Gambar 2.4, menjumlahkan dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.
2. Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Misalnya, Anda memacu kendaraan Anda lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar 2.5. Besar resultan perpindahannya, r, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut
dan arahnya terhadap sumbu-x positif (atau 37° dari arah timur).
Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang salingtegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.
3. Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.6 (a). Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6 (b).
Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut. Perhatikan Gambar 2.7. Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B, yakni R . Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah
Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh
dan dari trigonometri,
Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor resultan R.
4. Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Vektor A dan vektor -A, memiliki besar yang sama, yakni |A| = |–A| = A, tetapi arahnya berlawanan seperti diperlihatkan pada Gambar 2.8. Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor –B, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.9. Secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B.
Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari Persamaan (2–5) dengan mengganti θ dengan 180 – θ. Oleh karena, cos (180° – θ) = –cos θ sehingga diperoleh
5. Melukis Resultan Beberapa Vektor dengan Metode Poligon
Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnyaberbeda seperti diperlihatkan pada Gambar 2.10 (a), resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.
Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor B.
Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 2.10 (b).
Secara matematis, vektor resultan pada Gambar 2.10 ditulis sebagai berikut.
R = A + B + C
6. Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka secara matematis ditulis A + B + C + D + E = 0 Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 2.11. Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).
C Menjumlahkan Vektor dengan Metode Uraian
Dalam beberapa kasus, seringkali Anda menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan di bahas pada sub-subbab berikut ini.
1. Menguraikan Vektor Menjadi Vektor Komponennya
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada?
Gambar 2.12 memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. Ax adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi sin θ dan cos θ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut.
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan
Selanjutnya, hubungan antara Ax dan Ay diberikan oleh
2. Menjumlahkan Vektor Melalui Vektor-Vektor Komponennya
Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.
Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
Buat koordinat kartesius x-y.
Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y,menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu,misalnya
∑Rx= resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
∑Ry =resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
Besar vektor resultannya
dan arahnya terhadap sumbu-x positif
Sumber : Ipa-area