Rumus Trigonometri Beserta Contoh Soal

Rumus Trigonometri – Pengantar

Dalam trigonometri, Sinus. Cosinus. Tangent, Cosecan, Secan, dan Cotangent bisa digunakan bersama-sama baik dengan penjumlahan atau pengurangan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dalam trigonometri dapat diturunkan dari rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan modifikasi dari penjumlahan dua sudut dengan $\alpha = \beta$ , sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ .

Subtitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$ , maka didapat:

Sifat I: $\sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ .

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ .

Subtitusikan $\alpha = \beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$\cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$ .

Karena $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha$ dan $\sin \alpha \sin \alpha = \sin^2 \alpha$ , maka didapat:

Sifat II: $\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini bisa disubtitusi dengan identitas trigonometri:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\sin^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha)$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha)$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos akan didapat:

Sifat III: $\cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$ .

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ .

Subtitusikan $\cos^2 \alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$\cos (2 \alpha) = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$\cos (2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos didapat:

Sifat IV: $\cos (2 \alpha) = (1 - 2 \sin^2 \alpha)$ .

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian dari Sinus dan Cosinus diperoleh dari menjumlahkan dan mengurangi rumus dari sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Jumlahkan $\sin (\alpha + \beta)$ dengan $\sin (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Kedua:

Kurangkan $\sin (\alpha + \beta)$ dengan $\sin (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Ketiga:

Jumlahkan $\cos (\alpha + \beta)$ dengan $\cos (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Keempat:

Kurangkan dengan $\cos (\alpha + \beta)$ dengan $\cos (\alpha - \beta)$ :

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = - \frac{1}{2} \{ \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \}$ .

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan merupakan modifikasi dari bentuk perkalian Sinus dan Cosinus.

Pada modifikasi ini, kita cukup mensubtitusi $\alpha$ menjadi $\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$ dan $\beta$ menjadi $\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$ , sehingga diperoleh:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac{1}{2} (\alpha - \beta)$ .

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Aturan Sinus

Setiap segitiga, selalu memiliki tiga sudut dan setiap sudut selalu menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut dan sisi yang berhadapan, terdapat perbandingan yang selalu sebanding, yaitu:

$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$ .

Aturan Sinus ini dapat digunakan dalam perhitungan jika paling sedikit diketahui 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dengan sisi pada segitiga, selain menggunakan Sinu, juga terdapat rumus Cosinus, yaitu:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B$ .

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .

Rumus diatas digunakan untuk menentukan panjang sisi jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut yang diapit kedua sisi tersebut.

Sedangkan untuk menentukan besar sudut jika diketahui 3 sisi segitiga, dapat menggunakan aturan ini juga, dengan mengubah bentuk di atas, misalnya:

$\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}$ .

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut $\frac{1-(\sin x - \cos x)^2}{1 - \cos 2x}$ !

Jawab:

Penjabaran dari bentuk $(\sin x - \cos x)^2$ adalah $\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x$ , dimana $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ sesuai identitas trigonometri, sehingga:

$\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x$ .

Untuk bentuk $\cos 2x$ , dengan menggunakan rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk $\cos^2 x - \sin^2 x$ , $2 \cos^2 x - 1$ , atau $1 - 2 \sin^2 x$ . Untuk penyelesaian persamaan ini, kita gunakan bentuk $1 - 2 \sin^2 x$ .

Sehingga persamaan menjadi:

$\frac{1 - (1 - 2 \sin x \cos x)}{1 - (1 - 2 \sin^2 x)}$ .