CONTOH SOAL MATEMATIKA FUNGSI TURUNAN, FUNGSI KOMPOSISI, MATRIKS, DAN INTERGAL

FUNGSI TURUNAN DAN PEMBAHASAN

Diketahui f(x) = $\frac{2x+4}{1+\sqrt{x}}$ . Nilai f‘(4) = …

A. 1/3

B. 3/7

C. 3/5

D. 1

E. 4

Pembahasan:

f(x) = $\frac{u}{v}$

f'(x) = $\frac{u'.v-u.v'}{v^2}$

misal : u(x) = 2x + 4 $\Rightarrow$ u'(x) = 2

v(x) = 1 + $\sqrt{x}$ $\Rightarrow$ v'(x) = 1/2 x^-1/2

f'(x) = $\frac{(2)(1+\sqrt{x})-(2x+4)(1/2.x^{-1/2})}{(1+\sqrt{x})^2}$

f'(4) = $\frac{2(1+\sqrt{4})-(2(4)+4)(1/2.(4)^{-1/2})}{(1+\sqrt{4})^2}$

= $\frac{2(1+(2))-(8+4)(1/2.(1/2))}{(1+2)^2}$

= $\frac{2(3)-(12)(1/4)}{(3)^2}$

= $\frac{6-3}{9}$

= $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$

Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

E. 16

Pembahasan:

misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.

Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)

432 = s² + (4.s.t)

432 = s² + 4ts

Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.

432 – s² = 4ts

108/s – s/4 = t

Volume = v(x) = s²t

= s²(108/s – s/4)

= 108s – s³/4

Agar volume kotak maksimum maka :

v'(x) = 0

108 – 3s²/4 = 0

108 = 3s²/4

144 = s²

12 = s

Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx + c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …

A. – 21

B. – 9

C. 9

D. 21

E. 24

Pembahasan:

f'(x) < 0

3x² + 2ax + b < 0

Karena turun pada interval –1 < x < 5, itu artinya HP dari f'(x) adalah x₁ = -1 atau x₂ = 5. Jadi

f'(x) = (x + 1)(x – 5)

= x² – 4x – 5

3x² + 2ax + b = 3(x² – 4x – 5)

3x² + 2ax + b = 3x² – 12x – 15

2a = -12 $\Rightarrow$ a = -6

b = -15

a + b = -6 + (-15) = -21

FUNGSI KOMPOSISI DAN PEMBAHASAN

Soal No. 1
Diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
f(x) = 2 + x
g(x) = x² − 1
h(x) = 2x

Tentukan rumus dari (h o g o f)(x)

Pembahasan:
Bisa dengan cara satu-satu dulu, mulai dari g bundaran f
(g o f)(x) = (2 + x)² − 1
= x² + 4x + 4 − 1
= x² + 4x + 3

Masukkan hasilnya ke fungsi h(x) sehingga didapatkan
(h o g o f)(x) = 2(x² + 4x + 3)
= 2x² + 8x + 6

Soal No. 2
Diketahui:
F(x) = 3x + 5
Untuk x = 2 tentukan nilai dari:
F(x + 4) + F(2x) + F(x²)

Pembahasan
x = 2, maka
F(x + 4) = F(2 + 4) = F(6) = 3(6) + 5 = 23
F(2x) = F(2⋅2) = F(4) = 3(4) + 5 = 17
F(x²) = F(2²) = F(4) = 3(4) + 5 = 17

Jadi:
F(x + 4) + F(2x) + F(x²) = 23 + 17 + 17 = 57

Soal No. 3

Untuk Mendapatkan Soal Selanjutnya Silhakan di Download melalui link di bawah ini:

MATRIKS DAN PEMBAHASAN

Soal No. 1
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut

Tentukan matriks PQ

Pembahasan
Perkalian dua buah matriks

Soal No. 2
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y = 6
y = 2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

Soal No. 3
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini

Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13

Soal No. 4
Diberikan sebuah matriks

Tentukan invers dari matriks P

Pembahasan
Invers matriks 2 x 2

Soal No. 5
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini

Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut:

INTEGRAL DAN PEMBAHASAN

Soal No. 1
Tentukan:

∫ (3x + 7)⁵ dx

Pembahasan
Bawa ke bentuk ∫ vⁿ dv
Misal:
v = (3x + 5) dengan demikian:

Soal No. 2
Tentukan dengan menggunakan metode substitusi aljabar :

∫ (2x + 10)³ dx
Pembahasan

Soal No. 3
Tentukan hasil dari:

∫ √(3x + 6) dx

Pembahasan

Soal No. 4
Tentukan hasil dari:

∫ ³√(3x + 6) dx

Pembahasan

Soal No. 5
Tentukan hasil dari:

∫ (3x³ + 5)⁷ x² dx

Pembahasan

Soal No.6
Tentukan hasil dari:

∫ ³√(12 x⁵ − 7) x⁴ dx

Pembahasan

Soal No. 7
Hasil dari

adalah….

Pembahasan

FUNGSI TURUNAN DAN PEMBAHASAN

1. Fungsi f ditentukan oleh $f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}\: ;\:x\neq-4$ dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a. $x^2+2x+3$
b. $\frac 12x^2+2x-3$
c. $\frac 12x^2+2x+3$
d. $\frac 14x^2+2x-3$
e. $\frac 12x^2+2x+3$

Pembahasan:
$f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}$
$\begin{array}{rcl} misalkan:u=x^2+8x+12 & maka & u'=2x+8 \\ v=x+4 & maka & v'=1 \end{array}$
$\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(2x + 8)(x + 4) - (1)(x^2 + 8x + 12)}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {2x^2 + 8x + 8x + 32 - x^2 - 8x - 12}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {x^2 + 8x + 20}{(x + 4)^2}\\ f'(1) & = & \frac {(1)^2+8(1)+20}{(1+4)^2}\\ & = & \frac {29}{25}\:jawaban\;(D)\end{align*}$

2. Turunan pertama fungsi $f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}\:;\:x\neq-1$ adalah f ‘(x) = ….
a. $\frac{1}{(-x-1)^2}$
b. $\frac{5}{(-x-1)^2}$
c. $\frac{-7}{(-x-1)^2}$
d. $\frac{1}{(4x-3)^2}$
e. $\frac{7}{(4x-3)^2}$

Pembahasan:

$f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}$
$\begin{array}{rcl} misalkan:u=4x-3 & maka & u'=4 \\ v=-x-1 & maka & v'= -1 \end{array}$

$\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(4)(-x-1) - (-1)(4x-3)}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-4x-4+4x-3}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-7}{(-x -1)^2}\end{align*}$

3. Diketahui $f(x)=(3x+4)^4$ dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1) = ….
a. 4
b. 12
c. 16
d. 84
e. 112

Pembahasan:
$f(x)=(3x+4)^4$
misalkan u = 3x + 4 maka u’ = 3 dan n = 4
gunakan aturan rantai, maka :
$\begin{align*}f'(x) & = & n.u^{n-1}. u'\\ & = & 4.(3x + 4)^{4-1}.3\\ & = & 12(3x+4)^3\\ f'(-1) & = & 12(3(-1)+4)^3\\ & = & 12(-3+4)^3\\ & = & 12\:jawaban(B)\end{align*}$

4. Turunan pertama fungsi $f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2}$ adalah f ‘(x) = ….
a. $f(x)=x-3+\frac{4}{x^2}$
b. $f(x)=x-3+\frac{4}{x^3}$
c. $f(x)=2x-3-\frac{8}{x}$
d. $f(x)=2x-3-\frac{4}{x^3}$
e. $f(x)=2x-3-\frac{8}{x^3}$

Pembahasan:
$f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2}$ , nyatakan dalam bentuk pangkat
$f(x)=x^2-3x+4.x^{-2}$
$\begin{align*}f'(x) & = & 2x - 3+4(-2).x^{-2-1}\\ & = & 2x-3-8x^{-3}\\ & = & 2x-3-\frac{8}{x^3}\:jawaban(E)\end{align*}$

5. Turunan pertama dari $f(x)=6x\sqrt x$ adalah f ‘(x) = …
a. $3 \sqrt x$
b. $5 \sqrt x$
c. $6\sqrt x$
d. $9\sqrt x$
e. $12\sqrt x$

Pembahasan:
$f(x)=6x \sqrt x$ nyatakan dalam bentuk pangkat
$f(x)=6x^{\frac 32}$
maka :
$\begin{align*}f'(x) & = & 6.(\frac 32).x^{\frac 32 -1}\\ & = & 9.x^{\frac 12}\\ & = & 9\sqrt x\:jawaban(D)\end{align*}$