Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari
adalah logika matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu
matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil
sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting karena menjadi
konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan
dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi,
negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology,
kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut
pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut
juga sebagai pernyataan majemuk.
Logika Matematika
Teori Singkat
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat
yang bisa dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun
tidak bisa dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai
pernyataan jika bisa ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan
sebuah kalimat relative, maka tidak bisa ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup(kalimat tertutup) adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah). Kedua
pernyataan tersebut dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif.
Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah.
Agar lebih memahaminya, berikut contohnya.
Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan
(Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik
pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan
relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh
kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana adalah pernyataan ingkaran.
Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “todak benar bahwa…” untuk
menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh
untuk kalimat negasi.
Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A: Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.
Dalam logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya jika kedua
pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau
keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan
menggunakan tanda ^ yang berarti “dan”.
|
p
|
q
|
P ^ q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
|
|
B
|
S
|
S
|
Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
|
|
S
|
B
|
S
|
Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
|
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah
|
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi
menggunakan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila
salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah
benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Tabel Kebenaran Disjungsi
|
p
|
q
|
P v q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
|
|
B
|
S
|
B
|
Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
|
|
S
|
B
|
B
|
Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
|
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah
|
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan
dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan
konsep dari implikasi untuk dipahami.
|
p
|
q
|
p => q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
|
B
|
S
|
S
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
|
|
S
|
B
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
|
S
|
S
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
|
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika
kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah.
Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama
salah maupun sama-sama benar. Dalam logika matematika, untuk menyatakan
biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan
hanya jika q..”.
|
p
|
q
|
p ó q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
|
|
B
|
S
|
S
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
|
S
|
B
|
S
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
|
S
|
S
|
B
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
Agar lebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya
adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya
adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang
sama atau ekuivalen.
Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:
~(p^q) = p˅~q
~(p˅q) = p^~q
(p⇒q) = p˅~q
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan
yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan
implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya adalah q⇒p
Inversnya adalah ~p⇒~q
Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang
mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan,
yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang
menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan
adalah x.
Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan
yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan
adalah Ǝx.
Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx
Sama seperti pernyataan, kuantor juga memiliki negasi atau ingkaran.
Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah
kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:
p : semua bunga adalah indah
-p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika.
Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada
tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p,
kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya
adalah q.
Contoh:
Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: ~q
Kesimpulan: ~p
Contoh:
Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diharapkan bisa membantu dalam memahami
Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering
digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya.