Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka:
a + c < b + c
a – c < b – c
tanda pertidaksamaan tidak berubahjika kedua ruas dikali atau dibagidengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
a.c < b.c
a/b < b/c
tanda pertidaksamaan akan berubahjika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
a.c > b.c
a/c > b/c
tanda pertidaksamaan tidak berubahjika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
Pertidaksamaan Linear
→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:
Ruas kanan dibuat menjadi nolFaktorkanTentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nolGambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)
→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)
Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:
menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥jika dimasukkan x = 0 hasilnya positifkarena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatifkarena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
Pertidaksamaan Tingkat Tinggi
→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:
menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <jika dimasukkan x = 0 hasilnya positifkarena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positifkarena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positifselain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-selingkarena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}
Pertidaksamaan Pecahan
→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
Ruas kanan dijadikan nolSamakan penyebut di ruas kiriFaktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing intervalContoh 1:
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}
Contoh 2:
Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar
→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:
Kuadratkan kedua ruasJadikan ruas kanan sama dengan nolSelesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadratSyarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0Contoh 1:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}
Contoh 2:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
Syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:
Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0
Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4
Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3
Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}
Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}
Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:
Artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4
Sumber :http://matematikablogscience.blogspot.co.id/2012/03/pertidaksamaan.html?m=1